A la base du raisonnement se trouve , peut-etre, l'idée suivante: Si A est valable et si B
l'est aussi, alors on peut écrire: A ET B ( et
reciproquement: si A ET B est valable, on
peut ecrire A ou ecrire B).
Une autre idée se trouve également à la base
du raisonnement mathematique: si on decide d'ecrire NON A pour exprimer que A est à ex-
clure car non valable, alors A ne peut pas ètre valable en mème temps que NON A, et donc A ET NON A est exclu . Donc toute supposition
qui conduirait à: A ET NON A est elle-meme
à exclure. Donc on a le droit d'ecrire:
Faisons l'hypothese H. Si on aboutit ainsi à une
contradiction (c'est à dire A ET NON A), alors on peut ecrire NON H.
IMPLIQUE traduit le fait qu'une affirmation
etant vraie une autre le sera aussi. Autrement
dit, on ne peut pas avoir A sans B (n'ayant pas
A ET NON B, on a NON (A ET NON B). Donc il
faut adopter la définition suivante:
(A IMPLIQUE B) signifie NON( A ET NON B)
Autre definition: A OU B signifie NON( NON A ET NON B )
autre definition: A <=> B signifie( A => B et B => A)
(=> veut dire implique, <=> se lit: équivalent à)(Intuitivement, A ou B veut dire qu'au moins une des affirmations A et B est vraie, donc que quelqu'un qui affirmerait NON A et NON B c'est à dire que les deux sont fausses aurait tort, d'ou la définition).
Quel que soit x, A(x) est une façon de dire que A(x) est une affirmation toujours vraie, c'est à dire vraie pour un x queconque.
Il s'agit d'une convention, que l'on pourrait traduire par :
( Quel que soit x, A(x)) signifie A(x)
Il existe x tel que A(x) est une façon de dire que l'on doit pouvoir trouver des objets qui vérifient la propriété A, donc qu'il est faux que A soit toujours faux. On pourrait traduire cette convention par :
(Il existe x, A(x)) signifie NON (Quel que soit x, NON A(x))
* *
* *
SYSTEME D' AXIOMES DES MATHEMATIQUES
ET DE LA SCIENCE
REGLES DE PASSAGE ET AXIOMES LOGIQUES ET LEURS CONSEQUENCES
Dans les regles suivantes , -> indique que l' on peut passer de ce qui precede ce signe à ce qui le suit ( par exemple , A->B indique que l' on peut passer de A à B).
(A et B) -> A
A ->( B ->(A et B))
(A et B) -> (B et A)
(A et A=>B ) -> B
(A->B) -> A=>B
(A->(B et NON B)) -> NON A
A=>( A ou B)
NON A et (A ou B) => B
(A ou B) => (B ou A)
((A=>B)et((NON A)=>B))=> B
((A => B) et (B => A))=> (A <=> B)
(A<=>B) => ((A=>B) et (B=>A))
AXIOMES RELATIFS AUX QUANTIFICATEURS
ET A L EGALITE
(quel que soit x, A(x)) => A(t)
(il existe x, A(x)) => A(A*)
A(u) => (il existe x, A(x))
(NON A)(x) <=> NON A(x)
(x=y) => (A(x) <=> A(y))
(quel que soit A,(A(x) <=> A(y))) => (x=y)
AXIOMES DE LA THEORIE DES ENSEMBLES
Un ensemble est un tout qui contient différents objets; dire que x appartient à E signifie que E est un tout contenant différents objets et que x est l'un de ces objets. Dans ce qui suit, x app E se lit :"x appartient à E"; et {x / A(x)} se lit :" l'ensemble des x qui vérifient A(x)"; enfin, l'ensemble qui ne contient que a est appelé {a}. Voici les axiomes:
(u app {x / A(x)}) <=> A(u)
(E = F) <=> quel que soit x, x app E <=> x app F
(x app.{a}) <=> x = a
( voir aussi la rubrique "Nouvelle Approche", qui propose une construction de la science sans l'aide d'aucun axiome).
