Partons d'un exemple : nous sommes d'accord pour dire que l'ensemble { a, b, c} ressemble à l'ensemble { a', b', c' } mais non à l'ensemble { a', b' }. Dans le premier cas , nous dirions volontiers qu'ils ont la mème quantité d'éléments. Les mathématiciens disent alors qu'ils sont équipotents. Le regroupement de tous les ensembles équipotents à un ensemble donné (et qui sont alors équipotents entre eux ) s'appelle un cardinal. Le cardinal de l'ensemble E s'appelle card E.
Un nombre est un cardinal, c'est à dire en fait une quantité d'objets.
POURQUOI LES NOMBRES ?
La quantité est un critère que l'on ne peut quand meme pas ignorer ! Il se trouve par ailleurs que differentes realités (comme l'espace ou le temps) se ramenent à des nombres. Des sciences comme la physique, l'economie ou la Biologie, et aussi la vie pratique , ne pourraient exister sans les nombres.
Les nombres s'imposent car sans eux la théorie des ensembles reste floue, et ne mène finalement à rien d'autre qu' à elle-mème. A l'inverse, l'ensemble N des nombres entiers naturels est le premier ensemble important et structuré de façon precise.
DEFINITION DES NOMBRES
Le lecteur peu familier de la théorie des ensembles pourra se reporter directement à la partie consacrée plus bas à cette théorie.
A équipotent B signifie ( Il existe f : f est une bijection de A sur B)
card(A) = { l'ensemble des E : E équipotent A}
CN = { l'ensemble des a : Il existe A tel que a = card(A) } (On dit que CN est l'ensemble des cardinaux)
A < B signifie (il existe f : f est une bijection de A sur une partie de B) card(A) < card(B) signifie A < B
Le cardinal card( A U {u}) sera noté (card A)', et appelé successeur de card A . C'est un nouveau cardinal, qui s'obtient donc en ajoutant un élément à A .
Il en résulte que, si a = card A, alors a' = (card A)' = card (A U {u})
0 = card( l'ensemble vide)
La propriété P est héréditaire signifie ( P(0) et ( P(a) => P(a' ) )
n est un nombre entier naturel signifie ( Quel que soit P, P est héréditaire => P(n)) (autrement dit, un nombre entier naturel est une quantité qui a été obtenue à partir de 0 en passant plusieurs fois au successeur, et qui pour cette raison satisfait toutes les propriétés P héréditaires).
LES AXIOMES DE PEANO
Voici cinq affirmations, appelées axiomes de Peano, qui peuvent ètre démontrées sur la base des définitions qui précèdent. Ici on dira "nombre" pour nombre entier naturel.
1- 0 est un nombre
2- n est un nombre => n' est un nombre
3- Il n'existe pas de nombre n : 0 = n'
4- n' = p' => n = p
5- A(0) et (Quel que soit n A(n) => A(n' )) => Quel que soit n A(n)
LES OPERATIONS
On peut définir la somme deux deux cardinaux, définir leur produit, et élever le second à une puissance égale au premier. Ces opérations imitent celles sur les ensembles. Voici les définitions, qui s'appliquent notamment aux nombres:
card A + card B = card (A U B) (pour A et B disjoints, c'est à dire d'intersection vide)
card A . card B = card (AxB)
(card B)^(card A) = card (B^A), ou B^A s'appelle "B puissance A", et doit ètre défini assez curieusement comme l'ensemble des applications de A dans B.
LES AUTRES NOMBRES
Les nombres entiers naturels n'ayant pas de symétrique pour l'addition ni pour la multiplication, il faut définir de nouveaux ensembles de nombres plus vastes dans lesquels ce problème est résolu : ce sont les ensembles Z et Q . Ainsi un nombre x se trouve-t-il doté d'un opposé, noté " - x ", et d' un inverse, noté " 1 / x " . D'autres raisons conduisent à élargir encore la notion de nombre, ce qui conduit à R et C, appelés ensembles des nombres réels et des nombres complexes.
LA THEORIE DES ENSEMBLES
Les bases du Raisonnement ont été deja présentées plus haut . Quant aux ensembles, on considère en général qu'ils ont un sens évident : un ensemble est un rassemblement ou regroupement d'objets, ou si on préfère c'est un objet collectif . Dire que x appartient à E , c'est dire que E est un tel rassemblement , et que x est l'un des objets individuels qui figurent dans l'objet collectif E .
On pourrait chercher à améliorer cette présentation pour éviter de donner l'impression qu'une imagerie vague et intuitive tient lieu de théorie ! Pour cela, on pourrait s'appuyer sur le fait facile à admettre, qu' à toute propriété A(x) on peut associer un ensemble, à savoir le rassemblement des objets x tels que A soit vrai pour ces objets . Appelons EA (ce qui veut dire ensemble associé à la propriété A) cet ensemble, et preparons-nous à appeler : "appartient à" le lien entre objet et ensemble . La definition suivante traduit bien toutes ces idées :
x appartient à EA signifie A(x)
et elle est donc la definition de base cherchée.
( On pourrait nous reprocher de subordonner tout ensemble à une propriété . N'existe-t-il pas d'ensemble sans propriété ? La réponse est non, car tout ensemble E a un lien avec la propriété x app.à E . D'ailleurs, l' ensemble {a, b} est l'ensemble associé à P(x) signifiant x = a ou x = b .)
Autres definitions :
( A est un ensemble) signifie ( Quel que soit x, (x app. A) ou NON(x app. A))
( A = B ) signifie ( Quel que soit x, x app. A <=> x app. B)
A U B = {l'ensemble des x : x app A ou x app B}
A int B = {l'ens. des x : x app A et x app B}
f est une application de A dans B signifie Quel que soit x, x app A => f(x) app B (On dit qu'une application ou fonction f est un procédé qui transforme tout objet x en un nouvel objet f(x) ).
f est une bijection de A sur B signifie en plus : Quel que soit y, y app B => Il existe x unique, x app A et y = f(x)
(unique veut dire que si on en trouve deux, u et v, ils sont confondus : u = v ) (une bijection accole deux ensembles de façon à ce que tout élément du second soit atteint une fois et une seule).
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