l'espace
généralités
base du raisonnement
les nombres
l'espace
l'univers
une recherche
nouvelle approche
l'homme
Il n'est pas inutile de présenter la science comme composée de dix ou vingt chapitres, qui seraient les suivants : bases des mathématiques; fonctions réelles; théorie de l'espace; autres résultats essentiels; introduction à la logique; bases de la physique newtonienne; théorie de base sur l'homme; économie; droit et politique; électromagnétisme; espaces vectoriels; topologie; statistique; physique usuelle; ondes; physique statistique; physique contemporaine; quelques conclusions essentielles sur l'homme; résultats importants en logique; informatique théorique.

La nécessité de ces chapitres peut ètre justifiée par des commentaires appropriés. Par exemple, l'absence de la notion d'espace maintiendrait la science dans le giron des nombres, entités trop simples et informes.

L' espace peut etre introduit de differentes façons . On peut considérer que la meilleure approche repose sur la notion d'espace métrique , que nous allons décrire ci-après .


Les fonctions de deux variables , c'est à dire dont la valeur d( x, y) dépend de deux éléments x et y d'un mème ensemble E , peuvent présenter de ce fait des propriétés générales intéressantes , qui sont par exemple les suivantes :

d( x, y) = 0 <=> x = y
d( x, y) = d( y, x)
d( x, z) < d( x, y) + d( y, z),

( <=> signifie "équivalent à" ; < est mis pour : " < ou = " ).

Si d verifie ces trois proprietés , on dira que d est une distance .

Par exemple, si (P) est une partition sur un ensemble E, c'est à dire un découpage de E en parties totalement séparées, et si on définit d sur E par d(x, y) = 0 si x = y, d(x, y) = a >0 si x et y appartiennent à la meme partie sans etre égaux, et d(x, y) = b > a s'ils n'appartiennent pas à la meme partie, alors d est une distance (démonstration aisée : d(x, y) est bien nul si x = y ; d(x, y) = d(y, x) ; enfin, par exemple, si x et z ne sont pas dans la mème partie, alors y ne peut pas ètre dans la mème partie que l'un et l'autre ; donc l'inégalité a lieu).

On dira que ( E, d) est un espace metrique si d est une distance sur E . On pourrait montrer que, sur R , existe une distance unique vérifiant : d(x+ k, y+ k) = d(x,y) , d(kx, ky) = k. d(x,y) (pour k > 0) , et enfin d(0, 1) = 1 . Cette distance répond à la formule : d(x, y) = la valeur absolue de y - x (c'est à dire celui des deux nombres y - x et x - y qui est positif).

Les applications valables et intéressantes d'un espace métrique dans un autre sont celles qui sont continues, en ce sens que, si x est proche de a alors f(x) est proche de f(a). On qualifiera une partie d'un espace metrique de " courbe continue", dans le cas ou elle est comme R, c'est à dire ou elles se déduit de R par une application continue . On dit indifferemment courbe ou arc, et les espaces metriques ou, pour deux points quelconques existe un tel arc qui les contient et les relie, sont appelés espaces connexes par arc . Parmi eux, choisissons ceux ou existe entre deux points un plus court trajet ( appelé segment), choisissons sa longueur comme nouvelle distance, puis supposons que tous les points sont équivalents entre eux ( propriété de " neutralité ", consistant  surtout dans le fait que, si: A' B' = AB, A' C' =  AC et B' C' =  BC, alors pour tout point M existe un " homologue " M' tel que : M' A' =  MA, M' B' =  MB, M' C' =  MC ). Un tel espace neutre conduit aux propriéeés  de la géometrie.


QUELQUES DEMONSTRATIONS


Comme nous venons déjà de le faire, nous appellerons systématiquement AB le nombre d(A, B). Par ailleurs, le tronçon de courbe le plus court reliant A à B sera appelé "segment AB" et noté [AB]. Notons que, pour une courbe donnée et pour deux points M et N de cette courbe, il existe un tronçon de cette courbe d'extrémités M et N, à savoir la partie de la courbe située entre M et N .

 

 


Theoreme : Si I et J appartiennent au segment AB, alors les deux ensembles suivants sont confondus :
- Le segment I J
- La partie comprise entre I et J du segment AB .

Ce théorème peut paraitre évident. Pour le démontrer, raisonnons par l'absurde, c'est à dire supposons le théoreme faux. La partie I J du segment AB n'est donc pas le segment I J , et il est possible de trouver un trajet plus court que cette partie pour aller de I à J. Mais on peut alors trouver un trajet plus court que le segment AB, à savoir celui qui emprunte les parties AI et JB de ce segment, mais pour aller de I à J le trajet plus court. Donc le segment AB est, et n'est pas le plus court trajet de A à B . L'hypothese est donc fausse .


Theoreme : Il est équivalent de dire que le point C appartient au segment AB ou de dire : AB = AC + CB .

Si C est sur le segment AB, alors on a AB =(partie AC) + (partie CB), comme sur toute courbe.
Soit AB = AC + CB (compte tenu du th. ci-dessus)

Si AB = AC + CB, le segment AB et le trajet ACB réalisent la mème longueur. Comme le segment AB est l'unique tronçon de courbe de longueur minimale, ils sont donc confondus. Donc C appartient au segment AB.


 


LES TRIANGLES EGAUX OU ISOMETRIQUES

 

Définition:  On appelle droite toute courbe paramétrée à partir de R telle que la partie comprise entre deux points I et J de la droite soit le segment [IJ].


Theoreme (admis ici): Par deux points passe une droite et une seule. 

( On appellera demi-droite appartenant à (D) et issue de O, l'ensemble des points de (D) d'abcisse positive en choisissant O comme origine, et en retenant l'un des deux systemes d'abcisse possibles. On appellera angle un couple ordonné de deux demi-droites issues d'un meme point. Deux angles seront dits egaux si, lorsqu' on porte des points I et J à distance unité du sommet sur les cotés du premier, I' et J' de façon identique sur les cotés du second, on a : I J = I'J')

Theoreme : Si on appelle triangles égaux ou isometriques deux triangles ayant leurs trois cotés égaux et leurs trois angles égaux, alors il suffit pour qu'ils le soient qu'ils aient un angle égal compris entre deux cotés egaux, ou leurs trois cotés égaux.

Supposons que les triangles ABC et A'B'C' aient A=A', AB = A'B' et AC = A'C'. Alors avec les notations indiquées ci-dessus, A, I, J, et A', I', J', determinent des segments de memes longueurs. Donc, ajoutant B, on doit pouvoir lui trouver un homologue B''. Evidemment, si AI = AB + BI, on aura de meme A'I' = A'B''+ B''I', ce qui montre que B'' est sur le segment A'I' comme B'. Et comme A'B' = AB = A'B'', B'' est confondu avec B'. Un raisonnement identique conduirait, avec les memes notations à C'' = C'. Or B''C'' = BC. Donc B'C' = BC. Les trois cotés des triangles ABC et A'B'C' sont ainsi égaux. Par un raisonnement identique on montrerait ensuite l'egalité des angles.

Vision plein écran: cliquez
sur "Affichage", puis pl.éc.